Biotechnologies

D'après un sujet de bac, 2019.

Dans une solution tampon (solution dont le pH varie peu ou ne varie pas lors de l’ajout d’un acide ou d’une base, ou lors d’une dilution), on introduit des levures (saccharomyces cerevisiae) en suspension. On ajoute ensuite une solution de glucose à \(5\) millimoles par litre (\(\text{mmol}\cdot \text{L}^{-1}\)) et on suit la fermentation de glucose par les levures en relevant la quantité d’éthanol obtenue au cours du temps.

Le tableau ci-dessous donne la quantité \(y_i\) (exprimée en unité arbitraire, ua) d’éthanol dans la solution, en fonction de \(x_i\) qui représente la durée écoulée, en secondes, depuis l’ajout de glucose. À chaque valeur de \(y_i\), on associe \(z_i = \dfrac{5{,}2}{5{,}2− y_i}\).

On donne ci-dessous le nuage de points \(\text{M}_i\), de coordonnées \((x_i~; y_i)\), dans un repère orthogonal du plan.

Pour chacune des cinq affirmations de l’exercice, déterminer si elle est vraie ou fausse, puis justifier de manière claire et concise la réponse donnée.

Affirmation 1 : Un ajustement affine du nuage de points \(\text{M}_i (x_i~; y_i )\) est adapté.
Affirmation 2 : Au dix-millième près, la valeur manquante de \(z_i\) est \(2{,}1667\).
Affirmation 3 : Lorsque la durée écoulée depuis l’introduction du glucose passe de \(1~000\) à \(2~000\) secondes, la quantité \(y\) d’éthanol augmente de plus de \(25~\%\).

On donne ci-dessous le nuage de points \(\text{N}_i\), de coordonnées \((x_i~; z_i)\), dans un repère orthogonal du plan.

À l’aide d’une calculatrice, on a obtenu, pour ce second nuage de points, l’ajustement affine suivant : \(z = 0{,}0015x +1{,}0627\).

Affirmation 4 : Grâce à l’ajustement affine donné, on peut estimer que  \(y =5{,}2 - \dfrac{5{,}2}{ 0{,}0015x +1{,}0627}\).

Affirmation 5 : En utilisant le modèle d’ajustement de l’affirmation précédente, on peut estimer que la quantité d’éthanol présente 40 minutes après l’introduction du glucose est supérieure à \(4\) ua.